如我們以前所介紹的，四年多來數(shù)學(xué)教育技術(shù)討論班系統(tǒng)地研究了現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)編教科書，從頭到尾過了至少兩遍，參看了人教版、北師大版等各種版本，并及時(shí)跟進(jìn)新版。原本計(jì)劃最終給出一個(gè)系統(tǒng)的研究報(bào)告, 但現(xiàn)在看來這樣一個(gè)報(bào)告沒有人能有耐心讀下來，因?yàn)閱栴}太多了。哪里有嚴(yán)重的問題？如果反過來問“哪里沒有嚴(yán)重的問題”倒還容易回答些。
因此，本文采用魯迅寫《馬上日記》的方式，僅摘取幾個(gè)“精彩”片段供大家欣賞。
初中數(shù)學(xué)課本中的一些課題如圖形認(rèn)識(shí)初步、概率初步等在小學(xué)教程中都有，幾乎沒有新內(nèi)容(if at all)，而且也沒有深化，仍是常識(shí)性的。還有軸對稱、有效數(shù)字等內(nèi)容也是小學(xué)學(xué)過的。
還有一些段落像是給低幼兒童寫的，如“數(shù)字1與字母X的對話”。
但有時(shí)又反過來，例如人教版七年級上冊2.1節(jié)，第一個(gè)問題就要求學(xué)生自己列出方程，理由是“小學(xué)已經(jīng)學(xué)過簡單的方程”。
人教版七年級下冊中多邊形的定義是“由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形”，華師大版七年級下冊中的定義與此一致，北師大版八年級上冊、華滬科版八年級下冊中的定義加了“封閉”二字，浙教版八年級下冊中的定義是“邊數(shù)為3的多邊形角三角形，邊數(shù)為4的多邊形叫四邊形。類似地，邊數(shù)為5的多邊形叫五邊形，……邊數(shù)為n的多邊形叫n邊形”。不管按哪個(gè)定義，下圖是多邊形。
對于這個(gè)漏洞，北師大版和浙教版教材中有注釋，指明其教科書中所說的多邊形都是指凸多邊形，滬科版教材的注釋還定義了凸多邊形的概念。而蘇教版干脆沒有定義直接用多邊形。
在中學(xué)教科書中引入凸性，有幾個(gè)教師能講，又有幾個(gè)學(xué)生能聽懂？而且書中關(guān)于一般多邊形的唯一定理是“多邊形內(nèi)角和定理”，它本不需要凸性。
但人教版中多邊形內(nèi)角的定義是“多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角”，這又是一個(gè)漏洞。其他版本也沒有正確的定義，而且沒有解釋"內(nèi)”字的意義。
詳情可參看[Zou1](該文投到(數(shù)學(xué)通報(bào)》差點(diǎn)被槍斃，所幸當(dāng)時(shí)是英伯兄做主編，曾多次力挽狂瀾；保繼光任主編后吾等就再也沒有如此幸運(yùn)了）。
對于一般的多邊形，要寫好是有難度的。但如果沒有這個(gè)能力，起碼可以不寫，總比誤人子弟強(qiáng)。況且這對于一般的中學(xué)生并非重要到不可缺少的程度，以往的一些教科書中沒有多邊形內(nèi)角和定理，也未見對于學(xué)生的幾何素質(zhì)有顯著的不良影響。
人教版八年級上冊第11章中全等的概念是這樣講的：“形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。”“全等是'一模一樣’‘完全相等’的意思嗎?”“不考慮圖形的位置時(shí)，可以這么理解。”
什么叫“能夠重合”?若對做法沒有限制，三角形和圓也能“重合”；但若限制不當(dāng)，全等三角形也不能“重合”。
一個(gè)科學(xué)的術(shù)語，是有精準(zhǔn)的科學(xué)意義的，需要一個(gè)并不平凡的學(xué)習(xí)過程才能理解，而不是“自來就懂”的。用非科學(xué)的術(shù)語(如“形狀”、“大小”、“能夠重合”、“一模一樣”、“完全相等”、“位置”等)來解釋科學(xué)術(shù)語(如“全等”)，只會(huì)使學(xué)生得到含義模糊似懂非懂的知識(shí)，而且對于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的科學(xué)態(tài)度不利甚至有害。
就以“全等”為例，從歐幾里德的《幾何原本》直到1980年代我國的科書，都是從三角形全等的概念(三對對應(yīng)邊分別相等，三對對應(yīng)角也分別相等)開始，待把三角形全等講得較透徹了再進(jìn)一步講四邊形等圖形的全等，再往后才進(jìn)一步講更一般的圖形的全等(參看[Cheng1])。大部分人終生只學(xué)過三角形全等，這也比什么都不懂強(qiáng)。
近年來我對學(xué)生經(jīng)常擔(dān)憂的，不是不懂而是自以為懂。
人教版中三角形全等的判定定理是這樣引入的：通過畫圖“探索”，其實(shí)還要將一個(gè)三角形剪下來“放到”另一個(gè)三角形上(怎么“放”沒有說)。這樣就“得到”判定三角形全等的多個(gè)方法了。不過又加上用“角邊角”證明“角角邊”這樣一件多余的事。
編者仿佛在說：數(shù)學(xué)很簡單一看就懂，一學(xué)就會(huì)。
全等三角形是初等幾何中的一個(gè)重要且不平凡的基本概念，要講好并不容易，而把一般的全等概念講好更是有難度的，對于學(xué)術(shù)水平的要求也較高。連三角形全等都沒寫明白，為什么還要寫一般的全等呢？恐怕主要是源于中國官場的好大喜功和自命不凡之風(fēng)。
“代入”是一個(gè)專業(yè)術(shù)語，多數(shù)學(xué)生需要較長時(shí)間的學(xué)習(xí)才能夠掌握。而一旦掌握代入的概念，對于以后代數(shù)的學(xué)習(xí)(如復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程等)會(huì)有很大的促進(jìn)作用。
老版的教科書(包括民國時(shí)代的直到1980年代的)對于代入概念的引入都非常謹(jǐn)慎，先講多項(xiàng)式的值、解方程的代入法，多項(xiàng)式的變元代換等，在此基礎(chǔ)上引入“代入”這一術(shù)語并做充分的解釋。有的教科書甚至避免使用“代入”這一術(shù)語。
但現(xiàn)行統(tǒng)編教科書卻不然，例如人教版七年級上冊2.2節(jié)，在例2中冷不丁地講了多項(xiàng)式化簡然后代入求值，在此之前甚至沒有出現(xiàn)過“代入”這個(gè)詞，仿佛這應(yīng)該是學(xué)生本來就懂的。蘇教版，滬科版，浙教版，京教版等也都是使用“代入”一詞而沒有釋義(詳見[Maqn1])。
用這樣的教科書講課，真難為中學(xué)數(shù)學(xué)教師們了。
函數(shù)的內(nèi)容在現(xiàn)行統(tǒng)編教科書中占相當(dāng)大的比例。以人教版為例，初中就有三章（第14章一次函數(shù)，第17章反比例函數(shù)，第26章二次函數(shù))，實(shí)際上第6章（平面直角坐標(biāo)系）也與此有關(guān)。由于各章不連貫，每章開始都要復(fù)習(xí)，難怪常見學(xué)生嫌煩，教師嫌課時(shí)不夠。
人教版高中第一冊完全是講函數(shù)(第1章集合與函數(shù)概念，第2章基本初等函數(shù)，第3章函數(shù)的應(yīng)用)，但沒有三角函數(shù)。
對各函數(shù)的講法大體上是按照統(tǒng)一的程式：首先通過實(shí)例引入；然后做一些說明（但并不給出精確的定義）；然后是打點(diǎn)子畫圖；然后是由圖中“看出”一些性質(zhì)（但不講理由）；然后就是做題了。
通過實(shí)例引入原本是個(gè)好方法，但未必適合所有的函數(shù)。硬要教條地對每個(gè)函數(shù)都如此講，難免出現(xiàn)牽強(qiáng)或費(fèi)解的內(nèi)容。例如引入指數(shù)函數(shù)用的例子，有的書上是GDP，有的書上是放射性衰變。
至于打點(diǎn)子畫圖，本來就不是高明的方法，反復(fù)使用更是浪費(fèi)時(shí)間。何況需要用計(jì)算器或電腦計(jì)算（尤其是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等），既然如此，為何不直接用計(jì)算器或電腦畫圖？真是現(xiàn)代版的“鄭人買履”。
早年中學(xué)數(shù)學(xué)教程中沒有函數(shù)，到民國后期高中才有了一點(diǎn)（占比例很?。@絲毫不妨礙民國時(shí)期產(chǎn)生很多杰出的科學(xué)家。這種狀況持續(xù)到1980年代。現(xiàn)在的統(tǒng)編教科書雖然有這么多函數(shù)的內(nèi)容，但都是在低水平上多次重復(fù)，再加上內(nèi)容分散，幾乎是碎片化，效率奇低，最終學(xué)得仍很膚淺，對于函數(shù)的應(yīng)用更是只知道點(diǎn)皮毛。而況一些基本概念如復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)等都沒有，反三角函數(shù)當(dāng)然更沒有，很多地區(qū)甚至不講三角函數(shù)（只有“三角”沒有“函數(shù)”），所以學(xué)微積分時(shí)還要補(bǔ)。
我們跟隨英伯兄去歐洲考察中學(xué)數(shù)學(xué)教育后，分別就英國、法國和以色列的中學(xué)數(shù)學(xué)教育寫了報(bào)告（[Li1]，[Zhang-Wen1]，[Zhang1]）?？傮w而言，這些國家好的高中，學(xué)生的數(shù)學(xué)水平約比我國同齡人高3年。那么我國學(xué)生耽誤在哪里呢?別的不說，僅函數(shù)就浪費(fèi)了大約1年的時(shí)間（還不算高考復(fù)習(xí)）。
如果學(xué)生較早（例如初三）學(xué)習(xí)微積分，在此前不學(xué)函數(shù)也沒有關(guān)系，在學(xué)習(xí)微積分時(shí)會(huì)系統(tǒng)深入地理解函數(shù)。國外的一些中學(xué)，以及我國早期的一些中學(xué)（如我當(dāng)年讀的中學(xué)）都有這樣的學(xué)生。
順便說，碎片化的問題在幾何中更為嚴(yán)重。以人教版為例，初中平面幾何有下列10章：第3章圖形認(rèn)識(shí)初步，第5章相交線和平行線，第7章三角形，第11章全等三角形，第12章軸對稱，第18章勾股定理，第19章四邊形，第23章旋轉(zhuǎn)，第24章圓，第27章相似。從初一講到初三，課時(shí)比早年的教程還多，但水平，從嚴(yán)謹(jǐn)性、透徹性、系統(tǒng)性、深入性、邏輯性、幾何直觀、證明、作圖等各方面看，都差遠(yuǎn)了。
人教版九年級下冊第27章中相似的概念是這樣講的：“我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形。”“兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到。"
“對比”兩個(gè)正三角形，可以看到對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。對于兩個(gè)正六邊形也有類似的結(jié)論，“請你自己證明”。“實(shí)際上”，“相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。反過來，如果兩個(gè)多邊形滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么著兩個(gè)多邊形相似。”“對應(yīng)邊的比稱為相似比。”
這里的毛病和“全等”類似，根源恐怕也一樣，不再重述。
例6.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
在這部分，“公理”和“定理”的區(qū)別沒有界定。在課標(biāo)中就有四條公理(見KB])：
公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。
公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。
公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。
各版統(tǒng)編教科書中更亂，同一個(gè)命題，在一本教科書中稱為公理，在另一本教科書中則可能稱為定理，但稱為定理也不給證明。各教科書中只有少數(shù)例行公事的驗(yàn)證，沒有實(shí)質(zhì)性的證明(參看 [Zhangy1])。
從歐幾里德的《幾何原本》直到1980年代我國的教科書對于“公理”和“定理”的區(qū)別都有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕缍?。公理是直接從?shí)驗(yàn)得到的，不加證明而采用，應(yīng)盡可能少。僅就上述課標(biāo)中的公理而言，其中后兩條在老版教科書中都是定理，其中第3條可換為公理“兩個(gè)平面不能只有一個(gè)公共點(diǎn)”，第4條不需要新公理也可推出。在這一點(diǎn)上，課標(biāo)和各版本統(tǒng)編教科書都沒有科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。
人教版對各條公理或定理的講法大體上是按照統(tǒng)一的程式：先引入一個(gè)術(shù)語，然后舉例子，然后說“通過觀察我們看出”或“容易發(fā)現(xiàn)”某現(xiàn)象，然后就“由此得到”某公理或定理，然后就是做題了。
但究意怎樣“觀察”才能“看出”，書里都沒有說。實(shí)際教學(xué)中不過是硬灌給學(xué)生死記而已。
必須指出，空間直線與平面之間的位置關(guān)系恰恰不是能簡單地“觀察”到的，因?yàn)槿说囊曈X處理的是二維圖像，而這里涉及的很多對象如二面角、異面直線等都是實(shí)質(zhì)上的空間圖形，而況由于視覺經(jīng)過到視網(wǎng)膜的投影，不保持空間直線的平行性。（要想觀察到，需要做不平凡的實(shí)驗(yàn)，我還沒有見到過這方面的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，如果有人做，對于教學(xué)應(yīng)是很有意義的。）
不客氣地說，這部分教程從課標(biāo)到教材都是在矇人。
上面的例子都屬于必修內(nèi)容，這個(gè)例子屬于選修內(nèi)容中微分部分（在北京屬于高考范圍）。
人教版中數(shù)學(xué)B版選修1-1中如此定義極值：
“設(shè)函數(shù)y=f(x)及其定義域內(nèi)一點(diǎn)工x0，對于存在一個(gè)包含x0的開區(qū)間內(nèi)的所有點(diǎn)x，如果都有f(x0)>f(x)(或f(x0)<f(x))，則稱f(x)在x=x0處取極小值(或極大值)。"
注意這個(gè)定義與我們所讀的數(shù)學(xué)分析教科書（無論哪種）中的定義不同（其中“f(x0)>f(x)或f(x0)<f(x)”在數(shù)學(xué)分析教科書中為“f(x0)≥f(x)或f(x0)≤f(x)”)。編者可能說有權(quán)改變定義，但按這樣的定義，下面的最值判定法（也在人教版中數(shù)學(xué)B版選修1-1中）就不成立了。
“(1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值 f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。"
所有各版本的統(tǒng)編教科書（如有這部分內(nèi)容）都有同樣的錯(cuò)誤，而且關(guān)于最值判定法都沒有證明。
有些中學(xué)教師發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問題，但他們沒敢懷疑編者。有人猜想如果要求y=f(x)在任一區(qū)間都不是常數(shù)，那么上述最值判定法還是成立的。然而這也不對，強(qiáng)毅寫了一篇文章([Qiang2])，其中給出的例子是高階連續(xù)可微函數(shù)，在任一區(qū)間都不是常數(shù)，且極值點(diǎn)的集合中每個(gè)點(diǎn)都是極限點(diǎn)。這說明上述教科書的錯(cuò)誤是本質(zhì)的。這篇文章投到《數(shù)學(xué)通報(bào)》被斃了，無奈那時(shí)已是保繼光當(dāng)主編。
由于偶然的原因，我們發(fā)現(xiàn)了這些教科書一致的錯(cuò)誤的來源：工科普遍使用的同濟(jì)版微積分教科書。
前年我參加北京市教學(xué)名師的評審，候選人中一位高校教師就是像上面那樣講極值，他自己編的教科書中也是這樣寫的。我在討論中指出了這一問題，有評委說可能通用教科書中就有如此錯(cuò)誤，一查還真是如此。（后來這位候選人還是入選了，因?yàn)榇蠖鄶?shù)評委認(rèn)為這不是他的錯(cuò)。）
統(tǒng)編教科書中沒有證明的定理很多，由本例可見編者在不寫證明的時(shí)候，沒有一個(gè)人自己做過證明，甚至沒有一個(gè)人查閱過證明。大多數(shù)中學(xué)生所讀的教科書，竟然是在如此不認(rèn)真的治學(xué)態(tài)度下寫的。這實(shí)在是現(xiàn)代中學(xué)生的大不幸。
還要說兩點(diǎn)，上面這些例子好歹還是應(yīng)有的課程內(nèi)容，而統(tǒng)編教科書中有不少離題很遠(yuǎn)甚至根本不屬于數(shù)學(xué)的內(nèi)容，要舉這方面的例子得再寫一篇文章；還有如例6中那樣“通過觀察看出”之類的所謂“探索”也很多，同樣是矇人，要舉這方面的例子也得再寫一篇文章。
前兩年，圖書出版人老六將民國時(shí)期蔡元培主持編寫的課本重印，受到很高的評價(jià)，也使得現(xiàn)行統(tǒng)編教科書受到很多詬病。不久前這些老教科書已被上傳到網(wǎng)上，但那都是語文方面的。博士生張楚晗建議將民國時(shí)期的數(shù)學(xué)教科書也上傳。我覺得這是很值得做的。很多國人對于現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)編教科書還很崇拜，偶爾有人發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤也往往“自覺”地貶低其嚴(yán)重性。我想主要原因是沒見過好的，沒有比較；次要原因是“歌德派”還很強(qiáng)勢，而領(lǐng)導(dǎo)多半喜歡聽報(bào)喜不喜歡聽報(bào)憂。
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