菲爾茲獎(jiǎng)得主皮埃爾-路易·利翁：數(shù)學(xué)研究如警察辦案

一位獲得菲爾茲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家，世人很難不說(shuō)其是天才，但皮埃爾-路易·利翁自己并不承認(rèn)。數(shù)學(xué)家是什么樣子的？皮埃爾寫(xiě)下自傳《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自畫(huà)像》（Dans la tête d'un mathématicien），告訴我們“沒(méi)有人真正理解數(shù)學(xué)”。因?yàn)椴唤猓蕴剿?，這就是他精彩人生的一部分。對(duì)于數(shù)學(xué)研究本身，皮埃爾也有著很個(gè)性的觀(guān)點(diǎn)，數(shù)學(xué)研究如警察辦案——把線(xiàn)索串聯(lián)起來(lái)，而直覺(jué)也起著重要的作用。

撰文 | 皮埃爾-路易·利翁

翻譯 | 法臨婧

皮埃爾-路易·利翁（Pierre-Louis Lions，1956-），1994年菲爾茲獎(jiǎng)得主，他是2010年菲爾茲獎(jiǎng)得主塞德里克·維拉尼（Cédric Villani）的博士導(dǎo)師。︱圖源：ias.cityu.edu.hk

數(shù)學(xué)家的生活和普通人并無(wú)差別

在國(guó)家博士論文答辯的兩天后，我與日后成為我兒子母親的女人結(jié)了婚。我秉承了自己接受的教育中關(guān)于工作和私生活之間需要有個(gè)優(yōu)先順序的觀(guān)念：家庭應(yīng)該在人類(lèi)的生活中占據(jù)主導(dǎo)。此外，工作和生活之間健康的平衡需要各種活動(dòng)和娛樂(lè)。盡管我熱愛(ài)數(shù)學(xué)，但從沒(méi)打算把它當(dāng)作人生中的唯一。作為一個(gè)年輕的科研人員，我同樣對(duì)電影、音樂(lè)、文學(xué)保持著濃厚的興趣；我也從未錯(cuò)過(guò)一場(chǎng)歐洲六國(guó)橄欖球賽，不管是電視轉(zhuǎn)播的，還是現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行的。橄欖球承載著我所認(rèn)同的價(jià)值觀(guān)，其中之一我自己一直身體力行，那就是集體的重要性。

數(shù)學(xué)研究絕非一項(xiàng)個(gè)人體育運(yùn)動(dòng)。就像我所提到的，那種瘋狂科學(xué)家把自己鎖在家或辦公室里，終日拉著百葉窗苦攻方程式的神話(huà)已經(jīng)不復(fù)存在。研究人員是以團(tuán)隊(duì)為單位展開(kāi)工作的。他們會(huì)與研究其他課題的同事進(jìn)行交流，那些同事又會(huì)在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)外開(kāi)設(shè)講座，從而接觸到國(guó)內(nèi)外同行——甚至一些知識(shí)淵博的業(yè)余愛(ài)好者的觀(guān)點(diǎn)，以此來(lái)豐富自己的研究興趣。我十分喜歡自己的工作中關(guān)于團(tuán)隊(duì)合作的這一方面，并在職業(yè)生涯的初始階段就躬行實(shí)踐了。很抱歉又一次打破神話(huà)，但一個(gè)高級(jí)數(shù)學(xué)家的生活與成千上萬(wàn)的勞動(dòng)者其實(shí)并無(wú)差別。

盡管如此，數(shù)學(xué)家的日常工作有著兩個(gè)令人十分愉悅的特點(diǎn)，這是其他職業(yè)——哪怕是其他領(lǐng)域的科學(xué)家——無(wú)法比擬的。首先，數(shù)學(xué)家的工作能夠在沒(méi)有任何硬件支持的情況下進(jìn)行，電腦或復(fù)雜的機(jī)器都不是必需的，某些情況下甚至不需要紙筆！因?yàn)樵诒晦D(zhuǎn)化成方程式之前，數(shù)學(xué)首先是思維鍛煉的產(chǎn)物，這一點(diǎn)還是容我們稍后再談。由此衍生出的第二個(gè)特點(diǎn)是，我們的工作不需要特定的場(chǎng)所，無(wú)論何時(shí)，無(wú)論何地，不管是在辦公室還是在火車(chē)上，抑或夜晚躺在自己的床上……這是幸運(yùn)的，同時(shí)也是不幸的。我身邊的很多人常常為此對(duì)我抱怨，因?yàn)槲矣袝r(shí)會(huì)毫不夸張地與現(xiàn)實(shí)脫節(jié)，而這讓他們相當(dāng)惱火。比如，我經(jīng)常大清早在淋浴間一待就是半個(gè)小時(shí)，忙著構(gòu)建一個(gè)睡醒時(shí)突然想到的有趣推理。在我的家人眼里，這絕對(duì)算不上什么好事。

專(zhuān)注的思考

那么，當(dāng)我思考問(wèn)題的時(shí)候，我的大腦里到底發(fā)生了什么呢？想要解釋清楚并不容易。我陷入沉思時(shí)的狀態(tài)十分接近于冥想。那是一種絕對(duì)的專(zhuān)注——1小時(shí)轉(zhuǎn)瞬即逝，仿佛只過(guò)了5分鐘。有時(shí)我會(huì)放些背景音樂(lè)，但自己是聽(tīng)不到的，因?yàn)槲胰硇牡赝度氲搅四且豢痰乃伎籍?dāng)中。全家一起吃飯時(shí)，我又會(huì)不時(shí)陷入沉思，家人經(jīng)常帶著審查員一般的目光詢(xún)問(wèn)我：“你到底有沒(méi)有在聽(tīng)我講話(huà)？”過(guò)去、未來(lái)，縈繞在我周?chē)娜恕⒙曇?、物體……思考時(shí)，一切都是不存在的。

那么，我思考的時(shí)候又具體看到了些什么呢？還是讓我們放棄那些關(guān)于數(shù)學(xué)的常見(jiàn)誤解吧：我既看不到任何數(shù)字，也看不到任何圖形。我不研究幾何，也不是代數(shù)學(xué)家。我的工作是數(shù)學(xué)分析。給我的工作在視覺(jué)上、精神上以支撐的是方程及其解法，也就是它們彼此之間的各種函數(shù)及不等式。它們使用的符號(hào)通常取自希臘字母，其中許多由德國(guó)人戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）—一位17世紀(jì)末杰出的多面手所創(chuàng)造，今天仍被人們用于數(shù)學(xué)分析。我試圖像個(gè)登山者那樣，采用全新的、未經(jīng)探索的方式來(lái)攻克這些方程，為此我會(huì)使用各種科學(xué)操作、評(píng)估或計(jì)算方法，這些術(shù)語(yǔ)往往被人們錯(cuò)誤地與單純的數(shù)字化操作聯(lián)系到一起，但那些東西在我的方程式中并不存在，或寥寥無(wú)幾。

我工作的習(xí)慣大約是這樣的：我先把方程或要處理的問(wèn)題寫(xiě)在一塊黑板上、一張紙上、我的電腦里或一張表格上，之后試著用第一種方法展開(kāi)論證。這一過(guò)程往往漫長(zhǎng)而復(fù)雜，在整體驗(yàn)證了所得結(jié)果的合理性和一致性后，我會(huì)將其分割成幾個(gè)部分并加以記憶。接著，我在腦海中想象著同一張表格，一個(gè)接一個(gè)地寫(xiě)出公式，對(duì)每一個(gè)步驟進(jìn)行必要的操作和計(jì)算——就像建筑架構(gòu)那樣。整個(gè)過(guò)程中我會(huì)鎖定一些中間環(huán)節(jié)，它們猶如坐標(biāo)，時(shí)刻提醒我處于正確的軌道上。有時(shí)我也會(huì)跳過(guò)一些我認(rèn)為容易或可行的步驟。一旦完成了這項(xiàng)基本的腦力工作，部分或完整的架構(gòu)也就呼之欲出了。接著，我將對(duì)草稿上得出的各種要素加以說(shuō)明，詳細(xì)羅列腦海中每一個(gè)步驟所需的運(yùn)算和操作。當(dāng)然，大多數(shù)情況下我會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤，它們有時(shí)能讓我更好地理解問(wèn)題，但無(wú)論如何，論證必須重新開(kāi)始。有時(shí)甚至方法都需要重新嘗試……

數(shù)學(xué)研究如“警察辦案”

我絕不認(rèn)為自己是個(gè)天才，也不希望被人當(dāng)成天才，但必須承認(rèn)，記憶力超群這一優(yōu)勢(shì)時(shí)常讓我感到如虎添翼。很多數(shù)學(xué)家都有一副好記性，但也不是所有人都有。這一特點(diǎn)還讓我們得以最大限度地享受數(shù)學(xué)工作者這一職業(yè)所帶來(lái)的邏輯的靈活性。比如在職業(yè)生涯的早期，我也明白為保證充足的睡眠應(yīng)該避免晚上工作，而晚飯時(shí)開(kāi)始推導(dǎo)公式很容易導(dǎo)致失眠。因?yàn)槲乙幌蚰軌蛟谌魏吻闆r下快速、輕松地集中精力，但脫離這一高度集中的狀態(tài)卻很困難。不過(guò)隨著年齡的增長(zhǎng)，我還是學(xué)會(huì)了從數(shù)學(xué)的經(jīng)緯網(wǎng)絡(luò)中迅速抽身。

數(shù)學(xué)非常適合這種近乎冥想的智力訓(xùn)練，因?yàn)槲覀兊拇竽X能夠與它完美契合。人類(lèi)的大腦喜歡結(jié)構(gòu)，即使在結(jié)構(gòu)不存在時(shí)也能見(jiàn)微知著，通過(guò)概念和系統(tǒng)進(jìn)行推理。給它一張像拼圖游戲那樣切成小塊兒的照片，它就會(huì)千方百計(jì)去重現(xiàn)原始圖形。而數(shù)學(xué)的任務(wù)只有一個(gè)：它在不同的概念之間穿針引線(xiàn)，將各種結(jié)構(gòu)匯集起來(lái)，最終形成一個(gè)連貫的整體。它能識(shí)別拼圖的碎片，從而將其拼成完整的照片。一張也不多，一張也不少。

“警察辦案”是另一個(gè)在我看來(lái)很適合描述這一工作的例子，這個(gè)比喻不僅貼切，而且與我對(duì)驚悚片的喜好相得益彰。當(dāng)受害者的身份得到確定后，到底誰(shuí)才是罪魁禍?zhǔn)啄?？我們將就此展開(kāi)調(diào)查、尋找線(xiàn)索，把一個(gè)個(gè)線(xiàn)索聯(lián)系在一起，再一項(xiàng)項(xiàng)地驗(yàn)證假設(shè)，直到最終鎖定肇事者和犯罪現(xiàn)場(chǎng)。高等級(jí)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)在于我們需要同時(shí)調(diào)查10~20起犯罪，因此，組織意識(shí)和清晰的思路都是必不可少的。

之前已經(jīng)提到過(guò)，我工作的各個(gè)環(huán)節(jié)中有一部分遠(yuǎn)遠(yuǎn)超前于其他，它承載著我的全部思考，就像一個(gè)基座一樣。一旦確立好方程，我就會(huì)展開(kāi)自己的調(diào)查策略：我會(huì)把這個(gè)問(wèn)題或它的一部分牢牢握緊，然后翻來(lái)覆去地對(duì)它又?jǐn)Q又搖！我的目的是找到一個(gè)突破口—一個(gè)全新的、前所未有的切入方式。這有點(diǎn)像我把一個(gè)物體或形狀在內(nèi)心中展現(xiàn)出來(lái)，然后試著從另一個(gè)角度對(duì)它進(jìn)行觀(guān)察，但具體來(lái)說(shuō)，我又沒(méi)有看到任何物體或幾何形狀，在我的腦海中以非視覺(jué)化的方式呈現(xiàn)出來(lái)的只是一些方程、一些不等式或數(shù)學(xué)公式而已。

就像任何警察辦案一樣，直覺(jué)在這里發(fā)揮著重要的作用。我是一個(gè)直覺(jué)型的人，這是我在好記性以外的另一大優(yōu)勢(shì)。所有讓我得到認(rèn)可并為我的職業(yè)生涯指明方向的工作都有一個(gè)共同點(diǎn)，那就是它們都始于直覺(jué)。比如，當(dāng)我遇到一個(gè)問(wèn)題或問(wèn)題提交到我面前的時(shí)候，我立刻就會(huì)意識(shí)到它有一個(gè)解法，而且是可以實(shí)現(xiàn)的。但應(yīng)該怎么做，又需要使用哪些工具……？我并沒(méi)有頭緒。我只是確信解法確實(shí)在某個(gè)地方存在著，哪怕需要花點(diǎn)時(shí)間來(lái)尋找。我在可壓縮流體力學(xué)方面有過(guò)一項(xiàng)廣為人知的成果，它最初就是源于一個(gè)簡(jiǎn)單的直覺(jué)，但我卻耗費(fèi)了整整9年才達(dá)到預(yù)期的結(jié)論。不過(guò)，整個(gè)過(guò)程中我對(duì)成功從未有過(guò)動(dòng)搖。直覺(jué)很少讓我失望，它真的是功不可沒(méi)。

在闡明數(shù)學(xué)家工作的類(lèi)比游戲中，除了之前提到的警察辦案，還有另一個(gè)十分恰當(dāng)?shù)睦?mdash;—下國(guó)際象棋。解方程就像下國(guó)際象棋，我們需要努力預(yù)測(cè)自己每走一步可能產(chǎn)生的后果，并提前應(yīng)對(duì)對(duì)手可能作出的反應(yīng)。這一隱喻又引出了另一個(gè)更深層次的問(wèn)題：誰(shuí)是我們的對(duì)手？

數(shù)學(xué)就是大腦的運(yùn)轉(zhuǎn)

圍繞著這個(gè)疑問(wèn)，讓我來(lái)具體談?wù)勛约宏P(guān)于數(shù)學(xué)基本性質(zhì)的看法吧。有些科學(xué)家或哲學(xué)家有著某種柏拉圖式的數(shù)學(xué)觀(guān)，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)的存在先于人類(lèi)的源起。換句話(huà)說(shuō)，數(shù)學(xué)在遙遠(yuǎn)的蒙昧?xí)r代就已存在，數(shù)學(xué)家的游戲就是掀起它的神秘面紗，將其呈現(xiàn)給我們這些凡夫俗子的大腦。盡管我不怎么相信，但也可以說(shuō)，無(wú)論是從宗教意義上還是更加平凡的意義上來(lái)看，棋盤(pán)另一邊的對(duì)手正是上帝——那位宇宙杰出的建筑師。

這種形而上學(xué)式的數(shù)學(xué)觀(guān)我并不十分贊同，當(dāng)然也不打算全盤(pán)否定。沒(méi)有人能在這個(gè)問(wèn)題上提出決定性的論點(diǎn)，但它不符合我的無(wú)神論思想，也不符合我腳踏實(shí)地的性格。盡管如此，我發(fā)現(xiàn)自己喜歡凝視“結(jié)構(gòu)之美”——一個(gè)數(shù)學(xué)公式的美，并為之著迷。在那神奇的一刻，一切都水乳交融，以如此和諧的方式閃著光，甚至讓人感到辛苦計(jì)算出來(lái)的結(jié)果其實(shí)一直都在那兒。它被銷(xiāo)子鎖著，隱匿在陰影里，它就那么靜靜地等待著，等著一個(gè)多少受到啟發(fā)的靈魂拿著正確的鑰匙前來(lái)，好向他展示自己……不過(guò)，就算我能體驗(yàn)到這種強(qiáng)烈的、令人眩暈的感受，我還是會(huì)給它提出一種不那么華麗的解釋?zhuān)耗鞘俏覀兊拇竽X在運(yùn)轉(zhuǎn)，而我又不懂它運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)能。這使得我的言論頗具爭(zhēng)議性，甚至可能是相當(dāng)荒謬的。

在我看來(lái)，人類(lèi)的大腦有兩個(gè)特點(diǎn)，它同時(shí)促進(jìn)數(shù)學(xué)推理和那種有時(shí)會(huì)相伴而生的唯美的暈眩。第一點(diǎn)我已經(jīng)簡(jiǎn)單談過(guò)：我們的大腦對(duì)各種概念有著與生俱來(lái)的喜愛(ài)，面對(duì)種種彼此間多少有所關(guān)聯(lián)的信息，它會(huì)努力將其分區(qū)整合，由此找出其中隱藏的、具有一致性的結(jié)構(gòu)。例如，人人都理解“狗”這一概念，即使狗有數(shù)百個(gè)不同的品種。面對(duì)一個(gè)不熟悉的品種時(shí)，我們的大腦依然能夠聯(lián)系各種線(xiàn)索，從而得知自己是在與一條狗打交道。這是一種由點(diǎn)到面、在各種聯(lián)系間穿針引線(xiàn)的能力，而它恰恰是數(shù)學(xué)推理的根源。

至于第二個(gè)特點(diǎn)，應(yīng)該說(shuō)我們的大腦是一個(gè)奇妙的快樂(lè)制造機(jī)。這種關(guān)于美與和諧的感受伴隨著發(fā)現(xiàn)油然而生，雖然它被一些人解釋為上帝的氣息，但在我看來(lái)，那只是為了回報(bào)我們的努力而自然產(chǎn)生的某種化學(xué)反應(yīng)。話(huà)雖如此，我還是要再重復(fù)一遍：這只是一種信念而已。因?yàn)槲液湍切┏窒喾从^(guān)點(diǎn)的人都無(wú)法在這個(gè)問(wèn)題上證明任何事情。何況我也不是神經(jīng)科學(xué)或心理學(xué)方面的專(zhuān)家，而且我經(jīng)常告訴自己，哪怕是對(duì)數(shù)學(xué)我也不太了解……

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