對(duì)數(shù)論學(xué)家而言，存在兩個(gè)宇宙。第一個(gè)宇宙中，存在朗道-西格爾零點(diǎn)，第二個(gè)宇宙中，不存在。“我們的困惑是：現(xiàn)在到底生活在哪個(gè)宇宙里？”

這種類似平行宇宙的設(shè)定，讓人印象深刻。這段話出自美籍華裔數(shù)學(xué)家、美國加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校數(shù)學(xué)系教授張益唐。幾百年來，數(shù)學(xué)家們一直在試圖回答這個(gè)問題，現(xiàn)在，張益唐似乎給出了初步答案。

11月4日上午，張益唐向預(yù)印本平臺(tái)arXiv提交了一份長達(dá)111頁的論文《離散平均數(shù)估計(jì)和朗道-西格爾零點(diǎn)》，論文尚未接受同行評(píng)審。論文部分證明了朗道-西格爾零點(diǎn)不存在。專家指出，這一成果可能比之前讓張益唐“一戰(zhàn)成名”的孿生素?cái)?shù)猜想還要重大。如果張益唐的研究經(jīng)證明是正確的，將推動(dòng)多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域全方位的進(jìn)步。

11月8日上午，張益唐在北京大學(xué)做線上學(xué)術(shù)報(bào)告時(shí)說：“這一次解決朗道-西格爾零點(diǎn)，確實(shí)是在大海里落針。”他介紹，在解決其中關(guān)鍵步驟時(shí)，曾嘗試了各種辦法和工具，但最后一步就是跨不過去，后來想到了一個(gè)新的想法：通過引進(jìn)四個(gè)序列，最終推出了矛盾。“能做到這一步，我是幸運(yùn)的，只有把一些事情做到極致，才能找到這樣的關(guān)系式出來。”

（資料圖片）張益唐。圖/王旭華

“夢(mèng)寐以求去證明零點(diǎn)不存在”

11月5日上午，山東大學(xué)舉辦了一場關(guān)于張益唐朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的研討會(huì)，會(huì)上，張益唐夫人孫雅玲感慨：“他鉆研數(shù)學(xué)鉆得有點(diǎn)神經(jīng)了，每天早上七點(diǎn)多天蒙蒙亮，拄著拐杖、背著書包就走了。晚上走回家就七點(diǎn)了?；氐郊?，研究做不出來就一直嘟囔：‘零點(diǎn)、零點(diǎn)’，連我都知道零點(diǎn)了。我就想了個(gè)辦法，每天晚上把菜準(zhǔn)備好，讓他回來炒菜，把注意力分散一點(diǎn)。”

朗道-西格爾零點(diǎn)究竟是一個(gè)什么問題？

張益唐曾說，他夢(mèng)寐以求地是“想去證明這樣一個(gè)零點(diǎn)不存在”，因?yàn)橐坏┌l(fā)現(xiàn)零點(diǎn)存在，整個(gè)廣義黎曼猜想就錯(cuò)了。

無論廣義黎曼猜想還是黎曼猜想，都是為了解決素?cái)?shù)的分布問題。素?cái)?shù)指的是一類大于1的自然數(shù)，只能被1和它自身整除。素?cái)?shù)研究是數(shù)論中的一個(gè)根本問題，如果能破解它的分布之謎，很多現(xiàn)有的猜想都能得到答案。

早在18世紀(jì)，人類就已經(jīng)證明素?cái)?shù)無限多，但對(duì)于素?cái)?shù)的分布有很多困惑。19世紀(jì)，在瑞士數(shù)學(xué)家歐拉的研究基礎(chǔ)上，黎曼構(gòu)建了黎曼ζ函數(shù)，并且認(rèn)為素?cái)?shù)分布只與黎曼ζ函數(shù)的一種類型零點(diǎn)有關(guān)。原始的黎曼猜想是，所有這些零點(diǎn)都分布在實(shí)部等于二分之一的一條垂直線上。

黎曼猜想提出后，為研究等差數(shù)列上的素?cái)?shù)分布問題，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷1837年又引入了狄利克雷L函數(shù)，相當(dāng)于上述黎曼函數(shù)的推廣形式。數(shù)學(xué)家們推測，狄利克雷L函數(shù)上的零點(diǎn)也都位于實(shí)部等于二分之一的直線上，這就是廣義黎曼猜想。如果證明了廣義黎曼猜想，也就等于證明了黎曼猜想。

雖然黎曼猜想和廣義黎曼猜想一直沒有被證明，但數(shù)學(xué)家們基本默認(rèn)了其真實(shí)性，除了一個(gè)例外，就是朗道-西格爾零點(diǎn)。德國數(shù)學(xué)家西格爾和其導(dǎo)師朗道在研究狄利克雷L函數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)反例，一個(gè)異常零點(diǎn)可能不分布在那條直線上。這在一定程度上推翻了廣義黎曼猜想。

朗道和西格爾后來又通過一些方法證明了這樣的反例零點(diǎn)最多只有一個(gè)，但數(shù)學(xué)家們一直致力于證明：這樣的反例并不存在。

西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授郗平對(duì)《中國新聞周刊》說，朗道-西格爾零點(diǎn)是近百年前人們?cè)谘芯康依死譒函數(shù)時(shí)所發(fā)現(xiàn)的“怪物”。它若存在，那么原始的黎曼猜想就無法直接推廣到狄利克雷L函數(shù)的情形。朗道和西格爾等人分別對(duì)這一特殊零點(diǎn)的位置給了“初步的控制”，但因方法所限，其中涉及的常數(shù)無法定出，這給很多數(shù)學(xué)中的應(yīng)用帶來本質(zhì)障礙。

這也是為什么張益唐的證明如此重要，因?yàn)橐话俣嗄陙?，零點(diǎn)問題一直是解決很多數(shù)論問題的瓶頸，很多專家都對(duì)其發(fā)起了“進(jìn)攻”但最終失敗。

張益唐的思路有何創(chuàng)新和突破之處？

張益唐的博士生、現(xiàn)在加拿大女王大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)讀博后的阮大衛(wèi)對(duì)《中國新聞周刊》解釋，張益唐使用了一種經(jīng)典的證明策略“矛盾證明法”。他首先假設(shè)朗道-西格爾零點(diǎn)“以弱形式存在”，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這會(huì)導(dǎo)致狄利克雷L函數(shù)中其他零點(diǎn)以非常規(guī)則的間距排列起來，“就像游行中的士兵隊(duì)伍一樣”。

阮大衛(wèi)解釋說，但實(shí)際上，這些零點(diǎn)應(yīng)是隨機(jī)分布的，連續(xù)零點(diǎn)之間的間距是不可預(yù)測的，“類似于高速公路上的汽車—有時(shí)兩輛車相隔幾英里，有時(shí)是保險(xiǎn)杠對(duì)保險(xiǎn)杠”。這種零點(diǎn)間隔的極端規(guī)律性，反過來證明了朗道-西格爾零點(diǎn)不存在。

簡而言之，先是假設(shè)，最后發(fā)現(xiàn)結(jié)果矛盾，從而證明假設(shè)不成立。

長期從事數(shù)論研究的山東大學(xué)副校長劉建亞對(duì)《中國新聞周刊》說，如果單從論證上看，張益唐使用了一種經(jīng)典的辦法，但他把經(jīng)典的方法發(fā)揮到極致，使用經(jīng)典方法上，其中的一些創(chuàng)新和突破“非同凡響”。“經(jīng)典的方法已經(jīng)是千錘百煉，你要想在這個(gè)方面還有所突破，一定要比別人看得更深。”他說。

距離真正解決黎曼猜想還有很遠(yuǎn)

如果翻開張益唐的這篇論文，會(huì)發(fā)現(xiàn)摘要很短，風(fēng)格是他一向的簡潔清晰，其中只列出了一個(gè)公式，公式中函數(shù)的指數(shù)是-2022，“顯然是在致敬今年。”知名計(jì)算數(shù)學(xué)家、中國科學(xué)院院士、北師—港浸大聯(lián)合國際學(xué)院校長湯濤對(duì)《中國新聞周刊》說。

他還提到，在論文中，張益唐給出了兩個(gè)定理，其中一個(gè)定理中指數(shù)則是-2024。湯濤解釋，-2024如果變成-1，就相當(dāng)于證明了原始形式的朗道-西格爾零點(diǎn)猜想，因此張益唐還沒有完全解決零點(diǎn)問題，而是證明了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的一個(gè)變形：“一種相對(duì)弱的形式”。

但多位專家指出，對(duì)數(shù)論領(lǐng)域而言，這仍然是一個(gè)巨大的突破，和以前相比是“質(zhì)的飛躍”。“都說研究零點(diǎn)問題是大海撈針，張益唐已經(jīng)在在大海里撈到了一個(gè)臉盆，以前人們?cè)诖蠛＠锿耆恢婪较颍F(xiàn)在至少接下來至少知道要怎么做了，這是他的突破性所在。”湯濤說。

劉建亞強(qiáng)調(diào)，在數(shù)學(xué)意義上，2024與1沒有實(shí)質(zhì)性差別。“就像張益唐證明孿生素?cái)?shù)猜想時(shí)，他證明的是‘存在無窮多對(duì)素?cái)?shù)，其差值不超過7000萬’，而原始猜想要求‘差值等于2’。從數(shù)學(xué)意義上來講，7000萬和2沒有本質(zhì)差別，因?yàn)樵诖饲敖Y(jié)果中這個(gè)差值可以趨于無窮，現(xiàn)在已經(jīng)降到了有限數(shù)7000萬。”

在北大報(bào)告會(huì)上，當(dāng)有學(xué)生問張益唐：“指數(shù)2024可以改進(jìn)到什么程度？”張益唐說：“很多步驟還可以更精細(xì)，到幾百是可以的，但如果要到1，目前這個(gè)辦法是不夠的。”他表示，論文目前還需要進(jìn)一步修改和補(bǔ)充，更關(guān)鍵的是“做簡化”。

郗平也說，現(xiàn)在張益唐是在一個(gè)“稍小的范圍里”證明了零點(diǎn)不存在，雖然范圍有點(diǎn)小，但是比以前的范圍要大得多。從純數(shù)學(xué)的角度而言，在量級(jí)上是一個(gè)飛躍。這一工作若得到證實(shí)，將在素?cái)?shù)相關(guān)的核心問題上得到應(yīng)用，且其中產(chǎn)生的方法論將為解析數(shù)論帶來革命性改變。

但他也指出，證明黎曼猜想和廣義黎曼猜想，就是數(shù)學(xué)家們不斷向?qū)嵅渴嵌种坏哪菞l直線靠近的過程。但按照張益唐目前的方法，距那條直線還很遙遠(yuǎn)，也就是說，真正解決黎曼猜想和廣義黎曼猜想的希望還很渺茫。

張益唐的學(xué)生阮大衛(wèi)說，張益唐的研究不僅在解決朗道-西格爾猜想上實(shí)現(xiàn)了巨大飛躍，而且他的結(jié)果“強(qiáng)大而干凈”，可以立即為解析數(shù)論領(lǐng)域的其他研究者使用，從而迅速推進(jìn)數(shù)學(xué)和科學(xué)，可能改變數(shù)論中傳統(tǒng)證明的方式。他認(rèn)為，如果結(jié)果正確的話，這將是1896年證明素?cái)?shù)定理以來，過去125年來數(shù)論中得到的最好的結(jié)果之一。

劉建亞指出，與孿生素?cái)?shù)猜想相比，朗道-西格爾零點(diǎn)問題更具有基礎(chǔ)性和根本性，尤其對(duì)解析數(shù)論而言，很多數(shù)論問題的解決都要依賴于朗道-西格爾零點(diǎn)的表現(xiàn)，比如偶數(shù)的哥德巴赫猜想例外集的研究。

在他看來，張益唐的孿生素?cái)?shù)猜想，算是某種程度振興了解析數(shù)論，這次關(guān)于零點(diǎn)問題的突破，如果經(jīng)過驗(yàn)證正確的話，進(jìn)一步振興了解析數(shù)論這門學(xué)問。

青年時(shí)期一直想做的“大問題”

上一次，張益唐帶來如此重大的成果還是在2013年，他憑借一篇《素?cái)?shù)間的有界距離》一夜成名，創(chuàng)下了數(shù)學(xué)頂刊《數(shù)學(xué)年刊》百年來最快的過審記錄。但他自己說，與朗道-西格爾零點(diǎn)問題相比，對(duì)孿生素?cái)?shù)猜想的研究只能算是“走上一條岔道”，這一次，他回到主路，終于攻克了自己從青年時(shí)期一直想做的“大問題”。

與突破孿生素?cái)?shù)猜想時(shí)的靈光一現(xiàn)相比，對(duì)朗道-西格爾零點(diǎn)的研究更像是一次長期的漫行。孤獨(dú)一直伴隨著他，有時(shí)也會(huì)在心靈深處感到疲憊，看不到希望，但他仍在一小步一小步向前走。直到二十多年后，他緩慢而堅(jiān)定地，走到了路的終點(diǎn)。

湯濤曾問他，這二十多年來是如何堅(jiān)持下來？張益唐說，就是每天不中斷思考，去海邊散步時(shí)、聽音樂會(huì)時(shí)都在思考。但有時(shí)遇到瓶頸了，也會(huì)暫時(shí)停下來，比如去做孿生素?cái)?shù)猜想，中斷一會(huì)，但很快，還會(huì)繼續(xù)回到這個(gè)問題。因?yàn)樗恢痹谒哪X海中揮之不去。

張益唐說，自己做學(xué)問的風(fēng)格，即如果一件事喜歡干，就告訴自己，要把這個(gè)證明弄懂，這是很重要的。做數(shù)學(xué)要往深了鉆，但有的時(shí)候，不知道怎么往前走的時(shí)候，最好能停一下，回到出發(fā)點(diǎn)，問一下自己想做什么。

2013年7月，張益唐發(fā)表孿生素?cái)?shù)猜想結(jié)果不久，數(shù)學(xué)家季理真、翁秉仁曾對(duì)他做過一期專訪。采訪者說，數(shù)學(xué)家是要選擇解決幾百年沒有攻克的“大問題”，還是“即使結(jié)果小也有意義”的問題。有人不鼓勵(lì)大家研究黎曼猜想，“因?yàn)闆]有就什么都沒了”。張益唐連忙說，還是希望有人即使在做別的東西時(shí)，保持某些你有興趣的困難問題，例如黎曼假說…“像這種東西你可以盡想象力去試，不要以為前人所做的已經(jīng)窮盡了。”

湯濤眼中，張益唐是那類很罕見的“真正做數(shù)學(xué)的人”，只追求簡單的數(shù)學(xué)之美，寫的文章也美，只想要解決一些多年來解決不了的“數(shù)學(xué)上的本質(zhì)問題”。他也很執(zhí)著，會(huì)按照原來的思路一直往前走，如果有些東西還沒想透，就會(huì)花很多時(shí)間想，直到想通為止。“目前對(duì)朗道-西格爾零點(diǎn)問題，他認(rèn)為已經(jīng)解決了。”

北大報(bào)告會(huì)的最后，張益唐意味深長地說：“在數(shù)論里沒有什么東西是一定不可能的，我用了這么多年去大海撈針，針沒撈到，海底地貌反而弄清楚了，最后發(fā)現(xiàn)，其實(shí)不需要這根針也能達(dá)到終點(diǎn)。”

湯濤說，張益唐這篇論文很簡潔，思路清晰，但篇幅比孿生素?cái)?shù)論文要長，審稿周期估計(jì)需要一個(gè)多月，而結(jié)果是否正確，經(jīng)過最嚴(yán)格的驗(yàn)證后，三四個(gè)月后應(yīng)該會(huì)有一個(gè)最終結(jié)論。他還透露，張益唐下一步的研究方向可能是解決哥德巴赫猜想，這也是數(shù)學(xué)史上的“大問題”，“中國數(shù)學(xué)家很早就對(duì)這個(gè)猜想感興趣，但目前距離最終解決還有很大的距離。”

本文轉(zhuǎn)自于   中國新聞周刊