作者：西摩·佩珀特
對(duì)于數(shù)學(xué)的恐懼，是許多人在學(xué)生時(shí)代最難以跨越的一道坎。而在這種恐懼背后，其實(shí)隱藏了我們認(rèn)知方式的某種誤區(qū)和陷阱。讀庫(kù)新推出的這本小冊(cè)子《因計(jì)算機(jī)而強(qiáng)大：計(jì)算機(jī)如何改變我們的思考與學(xué)習(xí)》，是學(xué)習(xí)科學(xué)研究領(lǐng)域的先行者西摩·佩珀特出版于1980年的書，闡述了對(duì)于兒童學(xué)習(xí)與思考方式的見(jiàn)解，他的洞見(jiàn)在四十年之后，仍然具有啟發(fā)意義。今天小報(bào)節(jié)選他對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一些分析和倡導(dǎo)，也許會(huì)有一些新的啟示。
西摩·佩珀特
曾幾何時(shí)，柏拉圖學(xué)院門口的牌子上寫道：“不懂幾何者不得入內(nèi)。”
時(shí)代不一樣了，現(xiàn)在，追隨柏拉圖知識(shí)遺產(chǎn)的人們不僅不了解數(shù)學(xué)，也沒(méi)有覺(jué)得無(wú)視柏拉圖的這個(gè)訓(xùn)教有任何不妥。我們的文化分裂為“人文”與“科學(xué)”兩種領(lǐng)域，這讓他們感到安全：柏拉圖不是哲學(xué)家么，哲學(xué)屬于人文學(xué)科，而數(shù)學(xué)，那屬于科學(xué)的范疇。
這個(gè)巨大的分裂全面貫徹于我們的語(yǔ)言、世界觀、社會(huì)組織和教育體系之中。其最新的體現(xiàn)是在神經(jīng)生理學(xué)中。它構(gòu)成一個(gè)怪圈：文化越是分隔，被分隔的兩方越是各行其是。
一個(gè)聰明的成年人，卻經(jīng)常會(huì)在稍微復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題上敗下陣，往往會(huì)為自己的無(wú)能而情緒低落。這不僅意味著工作機(jī)會(huì)的減少，還有著一些間接的，但是更為嚴(yán)重的后果。
數(shù)學(xué)恐懼癥背后，是思維的誤區(qū)
對(duì)我來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)恐懼癥這個(gè)詞有兩個(gè)含義。
第一個(gè)意思是對(duì)數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈恐懼，這個(gè)恐懼是實(shí)實(shí)在在、廣泛存在的。另一個(gè)意思跟數(shù)學(xué)的詞根（math）有關(guān)。在希臘語(yǔ)中，所謂“數(shù)學(xué)”其實(shí)就是“學(xué)習(xí)”的意思。在我們的文化中，對(duì)學(xué)習(xí)的恐懼和對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼一樣普遍，其區(qū)別就在于前者往往深藏不露。
孩子一生下來(lái)就會(huì)學(xué)習(xí)，也很愿意學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)習(xí)的恐懼，特別是對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的恐懼，那是后來(lái)學(xué)到的東西。從數(shù)學(xué)這個(gè)詞的兩個(gè)含義上，都存在一個(gè)由愛(ài)到恨的過(guò)程，從愛(ài)數(shù)學(xué)、愛(ài)學(xué)習(xí)到恨數(shù)學(xué)、恨學(xué)習(xí)。
這個(gè)轉(zhuǎn)變是如何發(fā)生的呢？要回答這個(gè)問(wèn)題，讓我們先來(lái)看看孩子究竟是怎么學(xué)習(xí)的。
對(duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，孩子每天都在以驚人的速度學(xué)習(xí)，這是顯而易見(jiàn)的，也沒(méi)什么好說(shuō)的。在所有的高效學(xué)習(xí)中有一個(gè)領(lǐng)域是最明顯的，那就是口語(yǔ)詞匯的積累。兩歲的時(shí)候，只有極少數(shù)孩子的詞匯量能達(dá)到幾百，但四年后，到了上學(xué)的年齡，他們的詞匯量一躍而為幾千個(gè)。這意味著他們每天都要學(xué)到很多新詞。
我們可以很清楚地“看到”孩子們?cè)趯W(xué)會(huì)新詞，但很難看到他們?cè)谝灶愃苹蚋叩乃俣葘W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
皮亞杰一生所致力的對(duì)兒童知識(shí)起源的研究恰好說(shuō)明了這個(gè)問(wèn)題。在他的種種發(fā)現(xiàn)中，有一項(xiàng)是比較微妙的，那就是，大人看不見(jiàn)小孩學(xué)了什么，是怎么學(xué)的，是因?yàn)槲覀儜T常所說(shuō)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓我們看不到兒童學(xué)習(xí)的本質(zhì)。
對(duì)于大人來(lái)說(shuō)司空見(jiàn)慣的一些設(shè)定，對(duì)思想活躍的兒童來(lái)說(shuō)不僅聞所未聞，甚至是和他們已有的世界觀有所沖突的。對(duì)四五歲的孩子來(lái)說(shuō)，兩點(diǎn)之間的直線不一定就是最短的距離，在這兩點(diǎn)間慢走也不一定會(huì)比快走花更多的時(shí)間。同樣的，這里的問(wèn)題并不是說(shuō)兒童欠缺某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是欠缺對(duì)于概念的認(rèn)識(shí)，所謂最短，乃是路徑的屬性，而跟怎么走的行為沒(méi)有關(guān)系。
這些問(wèn)題指向的，不是兒童缺乏知識(shí)，而是知識(shí)結(jié)構(gòu)上的不同。皮亞杰指出，兒童對(duì)這個(gè)世界有自己的一套理論，這些理論完全可以自圓其說(shuō)。這些理論是兒童自發(fā)“學(xué)習(xí)”的，也就是自行發(fā)展出來(lái)的。
它也有完善的體系，各個(gè)部分之間的關(guān)系也符合數(shù)學(xué)的原則，只不過(guò)此數(shù)學(xué)非彼數(shù)學(xué)，兒童自行發(fā)展出來(lái)的數(shù)學(xué)和我們成人文化中廣泛接受的數(shù)學(xué)很不一樣。
在我們的社會(huì)里，大人們已經(jīng)忘記了小孩子對(duì)學(xué)習(xí)其實(shí)是頗為積極主動(dòng)的。這種遺忘程度因人而異，但相當(dāng)一部分人群（具體數(shù)字我也沒(méi)法提供）完全放棄了任何學(xué)習(xí)的努力。
這部分人極少（如果有的話）刻意學(xué)習(xí)任何東西，他們要么認(rèn)為自己沒(méi)這個(gè)本事，要么覺(jué)得學(xué)習(xí)是個(gè)苦差事。由此導(dǎo)致的社會(huì)和個(gè)人的代價(jià)是極大的，對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼，在文化上和物質(zhì)上都造成了人們生活的局限。
還有很多人并沒(méi)有完全放棄學(xué)習(xí)，但他們?yōu)槟承└畹俟痰呢?fù)面因素所制約著：他們不相信自己學(xué)習(xí)的能力。缺陷成為一種身份標(biāo)簽，你經(jīng)常聽(tīng)到這類的話：“我學(xué)不好法語(yǔ)，我學(xué)語(yǔ)言不行”；或是“我永遠(yuǎn)也成不了生意人，我對(duì)數(shù)字就是沒(méi)感覺(jué) ”；“我總是學(xué)不會(huì)滑雪，我的身體太不協(xié)調(diào)了”。
這些說(shuō)法被一再重復(fù)，最后成了一種儀式，一種迷信。而迷信帶來(lái)的，則是種種禁忌，對(duì)學(xué)習(xí)的禁忌。這種對(duì)自我的理解沒(méi)有太多事實(shí)依據(jù)，充其量也就是對(duì)學(xué)校生活的慘淡回憶罷了。
在這種思考方式的影響下，孩子們對(duì)自己的認(rèn)識(shí)往往基于他們的短處而不是長(zhǎng)處。這種認(rèn)識(shí)將伴隨他們一生，并不斷被強(qiáng)化。只有在某些很不尋常的情境下，一個(gè)人才得以重新審視對(duì)自己智識(shí)的認(rèn)識(shí)，并踏上新的學(xué)習(xí)之路。
“數(shù)學(xué)能力”不是天生的
要顛覆這種對(duì)人類能力結(jié)構(gòu)的偏執(zhí)絕不是一件簡(jiǎn)單的事。要推翻任何流行的認(rèn)識(shí)都絕非易事。但這里我們還要考慮其他幾個(gè)加劇這種困難的因素。
首先，關(guān)于人的能力劃分的流行看法號(hào)稱是有“科學(xué)”依據(jù)的。說(shuō)到底，心理學(xué)家們不是常常說(shuō)到對(duì)某項(xiàng)能力的測(cè)試嗎？但測(cè)什么，怎么測(cè)？讓我們考慮以下的思維實(shí)驗(yàn)。
我們的思維實(shí)驗(yàn)是關(guān)于想象中的數(shù)學(xué)王國(guó)的。盡管我們對(duì)怎樣實(shí)現(xiàn)這樣一個(gè)數(shù)學(xué)王國(guó)還沒(méi)有定論，但是在邏輯上它是嚴(yán)密的，它證明了現(xiàn)有的證據(jù)并不足以推導(dǎo)出現(xiàn)行的種種關(guān)于數(shù)學(xué)能力的論斷。
也許，真正的數(shù)學(xué)恐懼癥患者不能自己完成這個(gè)思維實(shí)驗(yàn)，那么就讓我用另一種形式來(lái)說(shuō)明我的觀點(diǎn)。假如我們要教小孩子跳舞，但我們不讓他們跳，而是給他們方形的紙，讓他們?cè)谏厦娈嬑璨剑€要設(shè)置一個(gè)考試，考試通過(guò)才允許他們跳舞。這樣做難道不會(huì)迅速培養(yǎng)出一群“跳舞恐懼癥”患者嗎？
那些最后通過(guò)考試，終于來(lái)到舞場(chǎng)上，隨音樂(lè)翩翩起舞的，是不是最有“跳舞才能”的？如果一個(gè)孩子不愿意把大量的時(shí)間花在做加減法上，這是不是就意味著這個(gè)孩子沒(méi)有所謂的“數(shù)學(xué)能力”？
然而當(dāng)代教育研究基本上就是這個(gè)思路，它們把現(xiàn)行的課堂模式和課外活動(dòng)文化作為自己的主要研究目標(biāo)。
很多研究都指出，在今天的學(xué)校里，學(xué)生所得到的對(duì)數(shù)學(xué)或是科學(xué)的認(rèn)識(shí)有很多問(wèn)題，這些研究從“人性”的角度出發(fā)，認(rèn)為一個(gè)“好”的教學(xué)方法，應(yīng)該把這些糟糕的思維方式作為出發(fā)點(diǎn)。人們很容易贊同這些人文觀點(diǎn)，但我認(rèn)為，這種說(shuō)法之下暗示著對(duì)現(xiàn)存體系的保留。
我曾經(jīng)見(jiàn)過(guò)一個(gè)孩子，他的例子很有代表性。我對(duì)他的觀察集中于八九年級(jí)的時(shí)期，就讓我們稱他為吉姆吧。吉姆來(lái)自一個(gè)知識(shí)分子家庭，他的表達(dá)能力很出色，但是對(duì)數(shù)學(xué)有強(qiáng)烈的恐懼。他對(duì)語(yǔ)言和表達(dá)的熱愛(ài)在學(xué)齡前就已經(jīng)展現(xiàn)出端倪，而他的數(shù)學(xué)恐懼癥則是在學(xué)校中培養(yǎng)而成的。
我認(rèn)為，這個(gè)恐懼癥是直接來(lái)自他在語(yǔ)言文字上的早熟。我從他的父母那里得知，吉姆很早就養(yǎng)成一個(gè)習(xí)慣，那就是用文字大聲描述自己所做的事，這個(gè)習(xí)慣在學(xué)前班老師和父母那里造成了小小的麻煩。但數(shù)學(xué)課是真正的考驗(yàn)。
這個(gè)時(shí)候他已經(jīng)知道不能老是“大聲說(shuō)話”，要控制自己，但我認(rèn)為他應(yīng)該還是在心里不斷描述自己的行動(dòng)。問(wèn)題在于：他不知道怎么來(lái)描述數(shù)學(xué)；他完全沒(méi)有（我們大多數(shù)人都沒(méi)有）用來(lái)描述數(shù)學(xué)思考的語(yǔ)匯，也不知道為什么要這么做。這么一來(lái)，他完全失去了行動(dòng)能力，從他對(duì)語(yǔ)言文字習(xí)慣的依賴衍生出一種對(duì)數(shù)學(xué)的憎恨，從這種憎恨又衍生出測(cè)試失敗，進(jìn)而被確定為數(shù)學(xué)能力差。
對(duì)我來(lái)說(shuō)，這個(gè)故事頗為發(fā)人深省。我相信：我們智識(shí)上的所謂弱點(diǎn)，和吉姆一樣，往往是從強(qiáng)項(xiàng)中成長(zhǎng)出來(lái)的。吉姆的故事說(shuō)的是語(yǔ)言文字的長(zhǎng)處如何妨害其他能力，但仔細(xì)觀察孩子，我們可以看到其他類似的過(guò)程。比方說(shuō)，一個(gè)孩子如果對(duì)邏輯過(guò)于著迷，會(huì)變得不能容忍英語(yǔ)拼寫，然后，他很有可能發(fā)展出對(duì)寫作的痛恨。
這兩種案例都是源于我們的文化在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)之間所造成的那道人為的鴻溝。我們要描述的是一個(gè)這樣的數(shù)學(xué)王國(guó)，在那里，吉姆對(duì)文字的熱愛(ài)和自我表達(dá)方面的技巧可以幫助他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而不是從中作梗；同樣的道理，一個(gè)孩子對(duì)邏輯的熱情也可以被用在語(yǔ)言學(xué)方面的發(fā)展。
有些理論認(rèn)為，人的能力傾向之所以有所不同，是因?yàn)榇竽X不同區(qū)域的發(fā)展存在差異。對(duì)此我的回答是，不管是哪種能力的培養(yǎng)，都需要?jiǎng)佑靡粋€(gè)孩子多方面的力量。我們已經(jīng)習(xí)慣于說(shuō)到大腦里面管數(shù)學(xué)和管語(yǔ)言的部分，就好像它們是不同的“器官”似的。
按照這種思路來(lái)看的話，一個(gè)孩子之所以被劃歸到數(shù)學(xué)強(qiáng)或是語(yǔ)文強(qiáng)的陣營(yíng)，取決于他大腦中的哪個(gè)器官更強(qiáng)。但是這個(gè)從生理基礎(chǔ)跳躍到知識(shí)結(jié)構(gòu)的論點(diǎn)有很多先決條件，比方說(shuō)，它假設(shè)只存在一條數(shù)學(xué)通道，如果這條通道先天堵塞，那么孩子的數(shù)學(xué)就不可能學(xué)好。
事實(shí)上，在當(dāng)代社會(huì)里，通向“高等”數(shù)學(xué)的道路只有一條，那就是在學(xué)校學(xué)數(shù)學(xué)。但是，就算是更多的腦研究證明了這條道路需要某些器官，而這些器官在某些孩子身上是缺失的，那也不意味著沒(méi)有這些腦器官就沒(méi)有數(shù)學(xué)——數(shù)學(xué)本身并不依賴它們而存在。
相反，我們應(yīng)該尋求其他途徑。所謂個(gè)人能力依賴于腦部構(gòu)造的說(shuō)法，本身就是人類社會(huì)的產(chǎn)物。
找回兒童式的學(xué)習(xí)方式
我所設(shè)想的基于計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)王國(guó)是對(duì)皮亞杰所說(shuō)的自然學(xué)習(xí)法的延伸，從對(duì)母語(yǔ)的自然學(xué)習(xí)，擴(kuò)展到對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。
皮亞杰式的學(xué)習(xí)通常是深深地根植在其他活動(dòng)中的。比方說(shuō)，一個(gè)嬰兒并沒(méi)有單獨(dú)劃出來(lái)“學(xué)說(shuō)話”的時(shí)間，這種學(xué)習(xí)模式是和無(wú)關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)相對(duì)立的。無(wú)關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)即在心理或是生理上與其他活動(dòng)不相干的學(xué)習(xí)。
在我們的文化中，數(shù)學(xué)教學(xué)就是一個(gè)典型的無(wú)關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)，它是一種專門化的學(xué)習(xí)活動(dòng)。對(duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，教數(shù)學(xué)和學(xué)數(shù)學(xué)就好像吃藥一樣。把數(shù)學(xué)從我們有機(jī)的生活中分離出去，這是我們的文化中一個(gè)巨大的諷刺，仿如其自身認(rèn)識(shí)論上的異化。
數(shù)學(xué)等科目沒(méi)能和孩子產(chǎn)生共鳴，其原因不難理解。因?yàn)檫@些科目和孩子周圍的所有人都沒(méi)有發(fā)生共鳴。
幫孩子產(chǎn)生這種共鳴，可不是講一番大道理或是把什么流程圖表往黑板上一抄就完事了。我問(wèn)過(guò)很多教師和家長(zhǎng)，數(shù)學(xué)是什么，為什么要學(xué)數(shù)學(xué)。只有少數(shù)人的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)算得上有理有據(jù)，他們的回答并不能讓人感到把孩子生命中的幾千個(gè)小時(shí)花在上面是值得的。
孩子們呢，他們也不傻。老師告訴學(xué)生，學(xué)了算術(shù)以后就可以在超市結(jié)賬的時(shí)候知道該找多少錢，老師們簡(jiǎn)直不能相信，在孩子們眼中，這是成人“騙小孩子的話”的又一個(gè)例子。
還有，當(dāng)老師告訴學(xué)生數(shù)學(xué)很“有趣”的時(shí)候，學(xué)生知道得很清楚，老師的閑暇時(shí)間是絕對(duì)不會(huì)從事這個(gè)所謂“有趣”的活動(dòng)的！
要想成為一名科學(xué)家，就要先學(xué)好數(shù)學(xué)——這個(gè)說(shuō)法也沒(méi)什么吸引力。有多少孩子長(zhǎng)大了想做個(gè)科學(xué)家呢？
學(xué)生很清楚地看到，老師和他們一樣對(duì)數(shù)學(xué)沒(méi)興趣，他們之所以做這件事，只不過(guò)是因?yàn)榭颇勘砩嫌卸?。所有這些都讓孩子們對(duì)成人世界以及教育這件事喪失了信心。我認(rèn)為，這在孩子和教育之間的關(guān)系中引入了深深的不信任因素。
孩子把學(xué)校對(duì)于數(shù)學(xué)教育的種種說(shuō)辭視為騙小孩子的話。我們?cè)鯓痈淖冞@種認(rèn)識(shí)？首先就要承認(rèn)，孩子基本是對(duì)的。學(xué)校施加在孩子身上的那種數(shù)學(xué)沒(méi)有意義，沒(méi)有樂(lè)趣，甚至也沒(méi)什么用。
這倒不意味著某個(gè)小孩不能把它變成某種有價(jià)值的和令人愉快的游戲。有些孩子一心要得高分，另外一些孩子一門心思要耍弄老師和學(xué)校的系統(tǒng)。還有很多孩子之所以享受數(shù)學(xué)課，恰恰是因?yàn)樵谶@里根本不用動(dòng)腦子，重復(fù)活動(dòng)倒成了避免思考的庇護(hù)所。所有這些，證明的只是孩子們的聰明才智，僅僅是因?yàn)楹⒆觽兛梢詮脑締握{(diào)無(wú)聊的活動(dòng)中玩出種種花樣，并不能證明學(xué)校數(shù)學(xué)有任何價(jià)值。
面對(duì)學(xué)校體制的歷史遺產(chǎn)，數(shù)學(xué)教育可以有兩種方式。傳統(tǒng)的方法是接受學(xué)校數(shù)學(xué)為既成事實(shí)，但是很難找到教授它的方法。有些教育工作者引入了計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的。這么一來(lái)，計(jì)算機(jī)在教育領(lǐng)域最常見(jiàn)的應(yīng)用變成了填鴨式灌輸前計(jì)算機(jī)時(shí)代留下的難以消化的學(xué)習(xí)材料。
在小龜幾何（佩珀特創(chuàng)建的一種利用計(jì)算機(jī)幫助孩子學(xué)習(xí)的方法）中，計(jì)算機(jī)有完全不同的應(yīng)用。我們把計(jì)算機(jī)視為數(shù)學(xué)表達(dá)的媒介，一種能讓我們開(kāi)放想象力，為自己度身定做有意義、知識(shí)上有系統(tǒng)性、易于學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課題。
我們不是為了“如何教授現(xiàn)有的學(xué)校數(shù)學(xué)”，而是要“重新構(gòu)建數(shù)學(xué)”，或者說(shuō)，將知識(shí)進(jìn)行重組，不需要付出巨大的努力就可以傳授。
所有的“科目開(kāi)發(fā)”都可以被理解為“知識(shí)重組”。
小龜幾何的出發(fā)點(diǎn)就是要度身定做。它主要的設(shè)計(jì)思想是易于吸收。當(dāng)然，它必須要有嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)內(nèi)容，但我們將看到，易于吸收和嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)內(nèi)容并不是互相排斥的。
恰恰相反，我們最終會(huì)理解，某些最個(gè)人的知識(shí)恰好是最深?yuàn)W的數(shù)學(xué)。在很多方面，數(shù)學(xué)——特別是有關(guān)空間、運(yùn)動(dòng)和重復(fù)行為的數(shù)學(xué)——是非常適合兒童的。
我和我的同事們反復(fù)思考這些概念后，得出了一些關(guān)于可吸收數(shù)學(xué)的基本原則。
首先是連續(xù)性原則：我們要教授的數(shù)學(xué)必須和業(yè)已建的個(gè)人知識(shí)構(gòu)成一個(gè)不間斷的連續(xù)系統(tǒng)。這樣一來(lái)新的知識(shí)才能從前者那里繼承到一種親和力，一種價(jià)值，一種“認(rèn)知上”的能力。
其次是力量的原則：這種學(xué)習(xí)必須能夠?yàn)閷W(xué)生提供一種力量，用以完成以前所不能完成、對(duì)個(gè)人而言意義重大的任務(wù)。
最后是文化共鳴的原則：我們選擇的課題必須在廣義的社會(huì)范疇下獲得意義。我們之前提到小龜幾何要對(duì)孩子而言是有意義的，但這還不夠，它必須對(duì)成人也是如此。對(duì)孩子真正有意義的是我們自己也需要的東西。一種有尊嚴(yán)的數(shù)學(xué)不是我們強(qiáng)加給孩子的，就好像我們自己不愿意吃的藥，卻哄著孩子讓他們?nèi)コ浴?span style="font-family: inherit; font-style: inherit; font-variant-ligatures: inherit; font-variant-caps: inherit; font-weight: inherit;">選自《因計(jì)算機(jī)而強(qiáng)大》，因篇幅有所刪減。
本文選自于 讀庫(kù)
